Persamaan Diferensial Eliptik

Karena Pada mata kuliah matematika kali ini kami (saya, Agus dan Amar) mendapt tugas oleh Bu Sulis untuk dapat mengaplikasikan metode numerik yang di ajarkannya pada permasalahan teknik sipil. Kebetulan kelompok kami mendapatkan tugas untuk membahas tentang Persamaan Diferensial Parsial. Dari hasil diskusi kami memtetapkan untuk ambil materi tentang Aliran air dalam tanah dan ternyata membentuk persamaan eliptik. Ini adalah sedikit pembahasan tentang persamaan diferensial parsial:

(2.1)

Dimana Maksudnya,variasi titik-titik x berada diantara a

dan b. Demikian pula dengan variasi titik-titik y, dibatasi mulai dari c sampai d (lihat Gambar

1). Jika h adalah jarak interval antar titik yang saling bersebelahan pada titik-titik dalam

Rentang horizontal a dan b, maka titik-titik variasi diantara a dan b dapat diketahui melalui

Rumus ini

, dimana (2.2)

dimana a adalah titik awal pada sumbu horisontal x. Demikian pula pada sumbu y.Jika k

adalah jarak interval antar titik yang bersebelahan pada titik-titik dalam rentang vertikal c dan

d,maka titik-titik variasi diantara c dan d dapat diketahui melalui rumus ini

, dimana (2.3)

dimana c adalah titik awal pada sumbu vertikal y. Perhatikan Gambar 1, garis-garis yang

sejajar sumbu horisontal, dan garis-garis yang sejajar sumbu vertikal, disebut grid lines. Sementara titik-titik perpotongan antara garis-garis horizontal dan vertical dinamakan Mesh Point

Gambar 1. Skema grid lines dan mesh point pada aplikasi metode finite-Difference

meshpoints.

Turunan kedua sebagai mana yang ada pada persamaan (2.2) dapat dinyatakan dalam rumus

centered-difference sebagai berikut:

Metode Finite-Difference biasanya mengabaikan suku yang terakhir, sehingga cukup dinyatakan

Sebagai

Pengabaian suku terakhir otomatis menimbulkan error yang dinamakan truncation error. Jadi, ketika suatu persamaan diferensial diolah secara numerik dengan metode Finite-Difference, maka solusinya pasti meleset alias keliru "sedikit", dikarenakan adanya truncation error tersebut. Akan tetapi,nilai error tersebut dapat ditolerir hingga batas-batas tertentu.

Sekarang persamaan-persamaan disubstitusikan Hasilnya adalah

dimana dan dengan syarat batas sebagai berikut

Pengertian syarat batas disini adalah bagian tepi atau bagian pinggir dari susunan mesh points.

Pada metode Finite-Difference, persamaan diatas dinyatakan dalam notasi , sebagai berikut

(2.4)

dimana dan ,dengansyaratbatassebagaiberikut

;

.

Persamaan(2.4)adalahrumusanakhirmetode Finite-Difference untukPDPEliptik.