15 Desember, 2009

Persamaan Diferensial Eliptik

Karena Pada mata kuliah matematika kali ini kami (saya, Agus dan Amar) mendapt tugas oleh Bu Sulis untuk dapat mengaplikasikan metode numerik yang di ajarkannya pada permasalahan teknik sipil. Kebetulan kelompok kami mendapatkan tugas untuk membahas tentang Persamaan Diferensial Parsial. Dari hasil diskusi kami memtetapkan untuk ambil materi tentang Aliran air dalam tanah dan ternyata membentuk persamaan eliptik. Ini adalah sedikit pembahasan tentang persamaan diferensial parsial:

clip_image002 (2.1)

Dimana clip_image004 Maksudnya,variasi titik-titik x berada diantara a

dan b. Demikian pula dengan variasi titik-titik y, dibatasi mulai dari c sampai d (lihat Gambar

1). Jika h adalah jarak interval antar titik yang saling bersebelahan pada titik-titik dalam

Rentang horizontal a dan b, maka titik-titik variasi diantara a dan b dapat diketahui melalui

Rumus ini

clip_image006, dimana clip_image008 (2.2)

dimana a adalah titik awal pada sumbu horisontal x. Demikian pula pada sumbu y.Jika k

adalah jarak interval antar titik yang bersebelahan pada titik-titik dalam rentang vertikal c dan

d,maka titik-titik variasi diantara c dan d dapat diketahui melalui rumus ini

clip_image010, dimana clip_image012 (2.3)

dimana c adalah titik awal pada sumbu vertikal y. Perhatikan Gambar 1, garis-garis yang

sejajar sumbu horisontal, clip_image014 dan garis-garis yang sejajar sumbu vertikal, clip_image016 disebut grid lines. Sementara titik-titik perpotongan antara garis-garis horizontal dan vertical dinamakan Mesh Point

clip_image018

Gambar 1. Skema grid lines dan mesh point pada aplikasi metode finite-Difference


meshpoints.

Turunan kedua sebagai mana yang ada pada persamaan (2.2) dapat dinyatakan dalam rumus

centered-difference sebagai berikut:

clip_image020

clip_image022

Metode Finite-Difference biasanya mengabaikan suku yang terakhir, sehingga cukup dinyatakan

Sebagai

clip_image024

clip_image026

Pengabaian suku terakhir otomatis menimbulkan error yang dinamakan truncation error. Jadi, ketika suatu persamaan diferensial diolah secara numerik dengan metode Finite-Difference, maka solusinya pasti meleset alias keliru "sedikit", dikarenakan adanya truncation error tersebut. Akan tetapi,nilai error tersebut dapat ditolerir hingga batas-batas tertentu.

Sekarang persamaan-persamaan disubstitusikan Hasilnya adalah

clip_image028

dimana clip_image030 danclip_image032 dengan syarat batas sebagai berikut

clip_image034 clip_image036

clip_image038 clip_image040

Pengertian syarat batas disini adalah bagian tepi atau bagian pinggir dari susunan mesh points.

Pada metode Finite-Difference, persamaan diatas dinyatakan dalam notasi clip_image042, sebagai berikut

clip_image044

clip_image046

clip_image048

clip_image050

clip_image052 (2.4)

dimana clip_image030[1] dan clip_image054,dengansyaratbatassebagaiberikut

clip_image056 clip_image058 clip_image060;

clip_image062 clip_image064 clip_image066.

Persamaan(2.4)adalahrumusanakhirmetode Finite-Difference untukPDPEliptik.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

AddThis

Share |